Apéndice A — Distribuciones muestrales
En esta sección se hará una revisión de algunos aspectos relacionados con algunas distribuciones continuas que suelen ser llamadas distribuciones muestrales.
A.1 Distribución Ji/Chi-cuadrado
Características:
Si Z_1 \sim \mathcal{N}(0,1), \dots, Z_\nu \sim \mathcal{N}(0,1) entonces \sum_{i=1}^{\nu} Z_i^2 \sim \chi^2_\nu \Big(\Big.Si Z_1, \dots, Z_\nu son variables aleatorias normales estándar independientes, entonces la variable aleatoria \sum_{i=1}^{\nu} Z_i^2 es chi-cuadrado de parámetro \nu.\Big.\Big)
Dominio (valores que puede tomar la variable aleatoria):
x \in \mathbb{R}^+
Parámetros:
\upsilon, grados de libertad de la variable aleatoria. \upsilon \in \mathbb{Z}^+
Notación:
X \sim \chi^2_\upsilon, esto se lee así: la variable X tiene una distribución chi-cuadrado con \upsilon grados de libertad.
Función de densidad:
f_X(x) = \begin{cases} \frac{1}{2^{\upsilon/2} \Gamma(\upsilon/2)} x^{\upsilon/2-1} e^{-x/2} & \text{Si } x \geq 0 \\ 0 & \text{en otro caso} \end{cases}\
Función de distribución acumulativa:
F_X(x) no tiene una expresión analítica cerrada simple.
Valor esperado y varianza:
- \mu_X = E[X] = \upsilon
- \sigma_X^2 = Var[X] = 2 \upsilon
Función característica:
\varphi_X(t) = (1-2\mathrm{i}t)^{-\upsilon/2}
Para ilustrar:
¿Cómo hallar o calcular probabilidades?:
Use aproximaciones numéricas tabuladas (ver libro de Anderson. Página 983) o herramientas tecnológicas que calculen las aproximaciones numéricas.
Ejercicio A.1
Sea X \sim \chi^2_{\nu = 14}
- P[X > 23.685] = ¿?
- P[X < 6.571] = ¿?
- P[4.075 < X < 21.064] = ¿?
Sea X \sim \chi^2_{\nu = 6}
- P[X > \text{¿?}] = 0.95
- P[X < \text{¿?}] = 0.9
- P[\text{¿?} < X < 16.812] = 0.98
Sea X \sim \chi^2_{\nu = 23}
- P[X > \text{¿?}] = 0.05
- P[X > \text{¿?}] = 0.975
- P[X > \text{¿?}] = 0.025
A.2 Distribución t de Student
Características:
Si Z \sim \mathcal{N}(0,1) y V \sim \chi^2_\nu son independiente, entonces, \frac{Z}{\sqrt{V/\nu}} \sim t_\nu \Big(\Big.Si Z es una variable aleatoria normal estándar, V es una variable aleatoria chi-cuadrado con \nu grados de libertad, y Z y V son independientes, entonces la variable aleatoria \frac{Z}{\sqrt{V/\nu}} es t de Student con \nu grados de libertad.\Big.\Big)
Dominio (valores que puede tomar la variable aleatoria):
x \in \mathbb{R}
Parámetros:
\upsilon, grados de libertad de la variable aleatoria. \upsilon \in \mathbb{Z}^+
Notación:
X \sim t_\upsilon, esto se lee así: la variable X tiene una distribución t de Student con \upsilon grados de libertad.
Función de densidad:
f_X(x) = \frac{\Gamma((\upsilon+1)/2)}{\Gamma(\upsilon/2) \sqrt{\pi \, \upsilon}} \left( 1 + \frac{x^2}{\upsilon} \right)^{-(\upsilon+1)/2}
Función de distribución:
F_X(x) no tiene una expresión analítica cerrada simple.
Valor esperado y varianza:
- \mu_X = E[X] = 0 para \upsilon > 1.
- \sigma_X^2 = Var[X] = \frac{\upsilon}{\upsilon-2} para \upsilon > 2.
Para ilustrar:
¿Cómo hallar o calcular probabilidades?:
Use aproximaciones numéricas tabuladas (ver libro de Anderson. Página 980) o herramientas tecnológicas que calculen las aproximaciones numéricas.
Ejercicio A.2
Sea X \sim t_{\nu = 8}
- P[X > 2.306] = ¿?
- P[X < 0.889] = ¿?
- P[-1.397 < X < 2.896] = ¿?
Sea X \sim t_{\nu = 16}
- P[X > \text{¿?}] = 0.95
- P[X < \text{¿?}] = 0.1
- P[\text{¿?} < X < \text{¿?}] = 0.98
Sea X \sim t_{\nu = 32}
- P[X > \text{¿?}] = 0.05
- P[X > \text{¿?}] = 0.975
- P[X > \text{¿?}] = 0.025
A.3 Distribución F de Fisher-Snedecor
Características:
Si U \sim \chi^2_{\nu_1} y V \sim \chi^2_{\nu_2} son independientes, entonces, \frac{U/\nu_1}{V/\nu_2} \sim f_{\nu_1,\nu_2} \Big(\Big.Si U es una variable aleatoria chi-cuadrado con \nu_1 grados de libertad, V es una variable aleatoria chi-cuadrado con \nu_2 grados de libertad, y U y V son independientes, entonces la variable aleatoria \frac{U/\nu_1}{V/\nu_2} es F de Fisher con \nu_1 grados de libertad en el numerador y \nu_2 grados de libertad en el denominador.\Big.\Big)
Dominio (valores que puede tomar la variable aleatoria):
x \in [0,\infty)
Parámetros:
\upsilon_1, grados de libertad en el numerador de la variable aleatoria, y \upsilon_2, grados de libertad en el denominador de la variable aleatoria. \upsilon_1,\upsilon_2 \in \mathbb{Z}^+
Notación:
X \sim f_{\upsilon_1,\upsilon_2}, lo cual se lee así: la variable X tiene una distribución F de Fisher con \upsilon_1 y \upsilon_2 grados de libertad.
Función de densidad:
f_X(x) = \frac{\sqrt{\frac{(\upsilon_1 \, x)^{\upsilon_1} \, \upsilon_2^{\upsilon_2}}{(\upsilon_1 \, x + \upsilon_2)^{\upsilon_1 + \upsilon_2}}}}{x \, B(\upsilon_1/2,\upsilon_2/2)}
Función de distribución:
F_X(x) no tiene una expresión analítica cerrada simple.
Valor esperado y varianza:
- \mu_x = E[X] = \frac{\upsilon_2}{\upsilon_2 - 2} para \upsilon_2 > 2.
- \sigma_X^2 = Var[X] = \frac{2 \, \upsilon_2^2 (\upsilon_1 + \upsilon_2 - 2)}{\upsilon_1 (\upsilon-2)^2 (\upsilon-4)} para \upsilon_2 > 4.
Para ilustrar:
¿Cómo hallar o calcular probabilidades?:
Use aproximaciones numéricas tabuladas o herramientas tecnológicas que calculen las aproximaciones numéricas.
Cuando se usan aproximaciones numéricas tabuladas, suele ser necesario usar la siguiente propiedad:
Si Y \sim f_{\upsilon_2,\upsilon_1} entonces \frac{1}{Y} = X \sim f_{\upsilon_1,\upsilon_2} Lo que quiere decir que, P[Y < y] = P\left[\frac{1}{Y} > \frac{1}{y}\right] = P\left[X > \frac{1}{y}\right]
Ejercicio A.3
Sea X \sim F_{\nu_1 = 10, \nu_2 = 15}
- P[X > 2.06] = ¿?
- P[X < 3.80] = ¿?
- P[2.54 < X < 3.06] = ¿?
- P[X > \text{¿?}] = 0.025
- P[X > \text{¿?}] = 0.95
- P[X > \text{¿?}] = 0.975
Sea X \sim F_{\nu_1 = 15, \nu_2 = 10}
- P[X > 2.24] = ¿?
- P[X < 4.56] = ¿?
- P[2.85 < X < 3.52] = ¿?
- P[X > \text{¿?}] = 0.025
- P[X > \text{¿?}] = 0.95
- P[X > \text{¿?}] = 0.975