4 Conceptos básicos
En esta sección se hará una revisión de algunos temas relacionados con los conceptos básicos de probabilidad.
- Lea todo el contenido de la presente sección (Probabilidad, 4 Conceptos básicos), incluyendo el contenido de Apéndice, A Repaso: Conjuntos y Apéndice, B Repaso: Conteo.
En sus propias palabras, haga una exposición escrita (como si le estuviera explicando a un compañero o amigo) acerca de lo que aprendió a partir de lo leído, incluya su discusión, reflexiones y conclusiones al respecto. Luego, exponga lo que no entendió e intente encontrar por su cuenta respuestas a las preguntas que le surgieron, para que las pueda compartir en clase.
Recordemos la relación entre los tres grandes bloques del curso:
4.1 Orígenes
La probabilidad surge como una forma de enfrentar la “incertidumbre”. A lo largo de la historia, las personas han tenido que tomar decisiones en contextos donde el resultado de una acción o fenómeno no puede preverse con certeza. Esta necesidad dio origen a distintas formas de razonar sobre lo “incierto”, muchas veces basadas en la observación, la experiencia y la intuición. Se aprendía de la repetición de situaciones y se generaban creencias sobre qué tan probable era un resultado con base en lo observado.
En Europa durante el siglo XVII, la teoría de la probabilidad comenzó a formalizarse, principalmente a partir del estudio de juegos de azar. Aunque desde la antigüedad existen registros del uso de dados y otros “instrumentos aleatorios”, en ese momento no se contaba con una formulación sistemática para abordar fenómenos cuyos resultados dependían del “azar”.
Con el paso del tiempo, las ideas desarrolladas en este ámbito se expandieron hacia situaciones más generales, y se crearon métodos cada vez más rigurosos para describir comportamientos de naturaleza “aleatoria”. Finalmente, en el siglo XX, la probabilidad alcanzó una alta formalización mediante un enfoque axiomático estrechamente relacionado con la teoría de conjuntos y la teoría de la medida. Este marco axiomático constituye la base del tratamiento moderno del concepto de probabilidad.
4.2 Experimento Aleatorio
Experimento aleatorio: Proceso que tiene más de un resultado posible y que cumple lo siguiente:
- Todos los posibles resultados son conocidos antes de realizar el experimento.
- En cualquier ejecución del experimento, el resultado no se puede conocer por anticipado.
- El experimento se debe poder repetir en condiciones “similares”.
Ejemplo 4.1 Lanzar un dado y observar el resultado. Enlace a la imagen: “The Wonderful World of dice”
Ejemplo 4.2 Sacar una carta de una mazo (baraja). Enlace a: “Standard 52-card deck - Wikipedia, Composition”
Ejemplo 4.3 Resultado de un partido.
Ejemplo 4.4 Precio de una acción mañana.
Ejemplo 4.5 Cantidad de unidades (de algún producto) vendidas el siguiente mes.
4.3 Espacio muestral
Espacio muestral: Conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio (conjunto universal). Generalmente se denota con la letra omega mayúscula del alfabeto griego (\Omega).
Es evidente que es y será muy importante tener la mayor claridad posible acerca de los objetos matemáticos denominados conjuntos. Así mismo, se debe tener un buen manejo de su notación, sus relaciones, sus operaciones y sus propiedades. En el Apéndice A hay un pequeño y rápido repaso de este tema (Repaso: Conjuntos).
Ejercicio 4.1 A partir de los experimentos aleatorios del Ejemplo 4.1 al Ejemplo 4.5, identifique el espacio muestral correspondiente en cada caso.
El tipo de conjunto que es \Omega determina el tipo de espacio muestral: discreto o continuo.
4.4 Suceso o evento
Suceso o evento: Conjunto de algunos resultados posibles del experimento aleatorio (cualquier subconjunto del espacio muestral). Cualquier conjunto E tal que E \subset \Omega (cualquier conjunto dentro del conjunto universal).
Ejercicio 4.2 A partir de los experimentos aleatorios del Ejemplo 4.1 al Ejemplo 4.5, proponga una serie de sucesos/eventos para cada ejemplo.
4.5 Medida de probabilidad
4.5.1 Definición clásica
Definición clásica: Para un evento cualquiera (A \subset \Omega), la probabilidad de dicho evento (P[A]) es igual al número de resultados del evento sobre el total de resultados posibles del experimento aleatorio \left(P[A] = \frac{\#A}{\#\Omega}\right).
Esta manera de definir o asignar una probabilidad solamente es válida si:
El espacio muestral es finito ( \#\Omega < \infty ).
Todos los resultados del experimento aleatorio son igualmente probables \left( \forall \omega \in \Omega, P[\{w\}]=\frac{1}{\#\Omega} \right).
Es evidente que es y será muy importante establecer el número de elementos de un conjunto, lo cual no es trivial cuando no es práctico o no se puede listar todos los elementos. Por tal razón, es necesario establecer y usar mecanismos que permitan obtener esos “conteos” de elementos. En el Apéndice B hay un pequeño y rápido repaso de este tema (Repaso: Conteo).
Ejercicio 4.3 Calcule la probabilidad de los eventos propuestos en Ejercicio 4.3 asociados a los experimentos aleatorios del Ejemplo 4.1 y el Ejemplo 4.2.
4.5.2 Definición como frecuencia relativa
Definición como frecuencia relativa: Para un evento cualquiera (A \subset \Omega), la probabilidad de dicho evento (P[A]) es igual al número de repeticiones para las cuales el resultado pertenece al evento sobre el total de repeticiones del experimento aleatorio \left(P[A] = \frac{\text{Frecuencia absoluta de }A}{\text{Total repeticiones}}\right).
Entre más grande sea el número de repeticiones del experimento aleatorio, más cerca se estará del “verdadero valor” o el “valor exacto” de la probabilidad.
En los siguientes enlaces encontrarán una manera de poder simular las repeticiones de un cierto experimento aleatorio:
4.5.3 Definición subjetiva
Definición subjetiva: Para un evento cualquiera (A \subset \Omega), la probabilidad de dicho evento (P[A]) es asignada a partir de la intuición, de la experiencia, de las creencias, de la “experticia” en el tema o de otra fuente de información a nivel personal.
Ejercicio 4.4 ¿Cuál es la probabilidad de que no llueva en todo el día mañana en Bogotá, Colombia?
Ejercicio 4.5 ¿Cuál es la probabilidad de que la selección de fútbol de mayores colombiana gane su próximo partido oficial?
4.5.4 Axiomas
Los axiomas son unas premisas que se asumen, que no son una consecuencia de otras proposiciones, y que sirven de base para deducir y demostrar una serie de resultados dentro de una teoría.
Los siguientes axiomas se deben cumplir, para poder decir que P[\cdot] es una medida de probabilidad:
P[\Omega] = 1.
Para todo A \subset \Omega, P[A] \geq 0.
Para todo A_1, A_2, \dots \subset \Omega con A_i \cap A_j = \emptyset para i \neq j se tiene que P\big[ \bigcup_{i=1}^\infty A_i \big] = \sum_{i=1}^{\infty} P\left[ A_i \right]
Ejemplo 4.6 Ir a Simple Probability Experiment
4.5.5 Algunas propiedades
A partir de los axiomas se pueden demostrar los siguientes resultados.
Para todo A \subset \Omega y B \subset \Omega, se tiene que, si A \subset B entonces P[A] \leq P[B]
P[\emptyset] = 0
Para todo A \subset \Omega, 0 \leq P[A] \leq 1
Para todo A \subset \Omega y B \subset \Omega, P[A \cup B] = P[A] + P[B] - P[A \cap B]
Para todo A \subset \Omega, P\left[A^C\right] = 1 - P[A]
Note que:
\begin{aligned} P : \wp (\Omega) &\longrightarrow [0,1] \\ A &\longrightarrow P[A] \end{aligned}
4.6 Ejercicios
Ejercicio 4.6 Encuentre los errores en cada una de las siguientes aseveraciones:
Según un estudio sobre el uso de redes sociales, la probabilidad de que un usuario abra su aplicación favorita mañana es 0.40, mientras que la probabilidad de que no la abra es 0.52.
Al extraer una carta de una baraja estándar en un solo intento, la probabilidad de seleccionar una carta de tréboles es 1/4, la probabilidad de seleccionar una carta roja es 1/2, y la probabilidad de seleccionar una carta que sea de tréboles y roja es 1/8.
Un software de detección de fraudes bancarios tiene probabilidades de 0.19, 0.34, −0.25, 0.43 y 0.29 de cometer 0, 1, 2, 3 o 4 o más errores, respectivamente, al analizar transacciones.
En un estudio sobre el consumo diario de café, se afirma que las probabilidades de que una persona tome 0, 1, 2 o 3 tazas de café en un día cualquiera son 0.19, 0.38, 0.29 y 0.15, respectivamente.
Ejercicio 4.7 En un grupo de 120 estudiantes universitarios, 70 ya aprobaron el curso de Cálculo Diferencial, 85 ya aprobaron un curso de contexto, y 40 ya aprobaron esos dos cursos. Si se selecciona al azar uno de estos estudiantes, calcule la probabilidad de que el estudiante:
ya haya aprobado al menos uno de los dos cursos mencionados;
no haya aprobado aún ninguno de los dos cursos;
haya aprobado el curso de contexto pero no el de cálculo.
Ejercicio 4.8 La tienda universitaria asigna códigos a sus productos usando: 3 letras distintas (de un alfabeto de 26 letras) y 4 dígitos distintos (del 1 al 9, sin ceros). ¿Cuál es la probabilidad de que un código seleccionado al azar comience con una vocal y termine con un dígito par?
Ejercicio 4.9 En un juego de mesa diseñado por estudiantes, se lanza un dado estándar de seis caras, dos veces consecutivas, para determinar ciertos eventos durante el juego. Calcule la probabilidad de que:
Se desencadene un evento especial llamado “Crisis Resuelta”, cuando la suma de los resultados de los dados sea exactamente 8.
Se active otro evento denominado “Ronda Exprés”, cuando la suma de los resultados de los dados sea como máximo 5.
Ejercicio 4.10 En un encuentro amistoso de cartas entre facultades, los estudiantes utilizan una baraja estándar de póquer de 52 cartas. Al repartir una mano de 5 cartas, calcule la probabilidad de que:
Se obtengan exactamente 2 Ases.
Se obtengan 3 cartas de corazones y 2 de tréboles.
Ejercicio 4.11 En la biblioteca de la Universidad, como parte de una actividad de promoción académica, se invita a un estudiante a participar en un sorteo en el que debe seleccionar al azar 3 libros de una colección especial de reserva. Esta colección está compuesta por: 5 libros de cálculo, 3 libros de literatura universal y 1 ejemplar exclusivo de “El Arte de los Videojuegos”. Calcule la probabilidad de que:
El estudiante reciba el libro “El Arte de los Videojuegos” entre los libros seleccionados.
El estudiante reciba 2 libros de cálculo y 1 de literatura universal.
- No olvide seleccionar y resolver ejercicios de un libro, preferiblemente que tengan respuesta, acerca de lo visto en esta sección. Por ejemplo, seleccionar ejercicios de las secciones 2.1 a 2.5 del libro de Walpole o de las secciones 4.1 a 4.3 del libro de Anderson.
De manera opcional, quien quiera puede buscar, consultar, leer, y aprender por su cuenta, acerca de:
- Las deducciones analíticas (demostraciones) de las propiedades de una medida de probabilidad.
- Otros resultados o fórmulas de conteo, adicionales a las incluidas en el Apéndice B.