Apéndice B — Repaso: Conteo
En este apéndice se hace un repaso de algunos aspectos básicos relacionados con el establecer el número de elementos que llega a tener un conjunto, lo que suele denominarse “conteo” (Formalmente, el campo de la matemática que se dedica a esto, se llama combinatoria enumerativa).
Antes de empezar debemos recordar que para todo r \in \mathbb{Z}^+, su factorial se define como:
\begin{aligned} r! &= (r) \big( (r-1)! \big) \\ &= \left(r\right)\left(r-1\right) \dots \left(1\right) \end{aligned}
Además, por definición se toma: 0! = 1.
B.1 Pasos múltiples (caso general)
Supongamos que deseo resolver el siguiente ejercicio.
Ejercicio B.1 Determine el número total de placas compuestas por tres letras consecutivas seguidas de un número de tres cifras, sin excluir letra del alfabeto ISO básico latino (26 letras) o dígito alguno.
¿Cómo lo resuelvo?
Pasos múltiples (caso general): Supongamos que un experimento inicialmente tiene un primer paso con n_1 resultados posibles, después, un segundo paso tiene n_2 resultados posibles, y seguimos así hasta un paso r (el r-ésimo paso), entonces el número total de resultados posibles del experimento es:
\begin{aligned} \left( n_1 \right) \left( n_2 \right) \dots \left( n_r \right) &= \prod_{i=1}^{r} n_i. \end{aligned}
Teniendo en cuenta lo anterior, ¿cuál sería la solución del Ejercicio B.1 (Determine el número total de placas compuestas por tres letras consecutivas seguidas de un número de tres cifras, sin excluir letra del alfabeto ISO básico latino (26 letras) o dígito alguno.)?
\begin{aligned} \left(26\right)\left(26\right)\left(26\right)\left(10\right)\left(10\right)\left(10\right) &= \left(26^3\right)\left(10^3\right) \\ &= 17\,576\,000 \end{aligned}
B.2 Permutaciones
Supongamos que deseo resolver el siguiente ejercicio.
Ejercicio B.2 Determine el número total de contraseñas de 8 caracteres, que se puede obtener con las letras de la palabra “estudiar”.
¿Cómo lo resuelvo?
Permutaciones: Arreglo de todos o parte de los elementos de un conjunto, en donde un cambio en el orden de los elementos genera un resultado distinto. Cada resultado distinto (cada cambio de orden) se puede representar como un vector/arreglo: (\omega_1, \omega_2, \dots, \omega_r) (lo cual resalta que un cambio de orden SI es un resultado considerado distinto, como ocurre al cambiar de orden los elementos de un vector).
B.2.1 Sin elementos repetidos
Permutaciones sin elementos repetidos: Si los elementos no se pueden repetir a lo largo del arreglo, entonces el número total de resultados posibles es:
\begin{aligned} P\left(n,r\right) &= {_{n}P_{r}} = P_{r}^{n} = {^{n}P_{r}} = P_{n,r} = \frac{n!}{\left(n-r\right)!}, \end{aligned}
donde n es el número total de elementos y r es el tamaño del arreglo.
Teniendo en cuenta lo anterior, ¿cuál sería la solución del Ejercicio B.2 (Determine el número total de contraseñas de 8 caracteres, que se puede obtener con las letras de la palabra “estudiar”.)?
\begin{aligned} P\left(8,8\right) &= \frac{8!}{\left(8-8\right)!} \\ &= 8! \\ &= 40320 \end{aligned}
Ejercicio B.3 Determine el número total de contraseñas de 4 caracteres, que se puede obtener con las letras de la palabra “estudiar”:
\begin{aligned} P\left(8,4\right) &= \frac{8!}{\left(8-4\right)!} \\ &= \frac{8!}{4!} \\ &= \frac{(8)(7)(6)(5)(4!)}{4!} \\ &= (8)(7)(6)(5) \\ &= 1680 \end{aligned}
B.2.2 Con elementos repetidos
Ejercicio B.4 Determine el número total de contraseñas de 8 caracteres, que se puede obtener con las letras de la palabra “ganancia”.
Permutaciones con elementos repetidos: Si el elemento i-ésimo puede estar repetido hasta n_i veces, entonces el número total de resultados posibles para el arreglo de tamaño n es:
\begin{aligned} \frac{n!}{(n_1!)(n_2!) \dots (n_r!)} \end{aligned}
Teniendo en cuenta lo anterior, ¿cuál sería la solución del Ejercicio B.4 (Determine el número total de contraseñas de 8 caracteres, que se puede obtener con las letras de la palabra “ganancia”)?
\begin{aligned} \frac{8!}{(1!)(3!)(2!)(1!)(1!)} &= \frac{8!}{(3!)(2!)} \\ &= \frac{(8)(7)(6)(5)(4)(3!)}{(3!)(2!)} \\ &= \frac{(8)(7)(6)(5)(4)}{2} \\ &= (8)(7)(6)(5)(2) \\ &= 3360 \end{aligned}
B.3 Combinaciones
Supongamos que deseo resolver el siguiente ejercicio.
Ejercicio B.5 ¿De cuántas formas distintas se podía jugar el baloto cuando consistía en seleccionar seis (6) números (en cualquier orden) del uno al cuarenta y cinco (1-45)?
¿Cómo lo resuelvo?
Combinaciones: Conjunto de elementos, en donde un cambio en el orden de los elementos NO genera un resultado distinto. Cada resultado distinto se puede representar como un conjunto: \{ \omega_1, \omega_2, \dots, \omega_r \} (lo cual resalta que un cambio de orden NO es un resultado considerado distinto)
B.3.1 Solamente un subconjunto
Combinaciones (solamente un subconjunto): El número total de resultados posibles al seleccionar un subconjunto de r elementos de un total de n elementos distintos, es:
\begin{aligned} C\left(n,r\right) &= C_{r}^{n} = {_{n}C_{r}} = {^{n}C_{r}} = C_{n,r} = \binom{n}{r} = \frac{n!}{\left(n-r\right)! (r!)}. \end{aligned}
Teniendo en cuenta lo anterior, ¿cuál sería la solución del Ejercicio B.5 (De cuántas formas distintas se podía jugar el baloto cuando consistía en seleccionar seis (6) números (en cualquier orden) del uno al cuarenta y cinco (1-45))?
\begin{aligned} \binom{45}{6} &= \frac{45!}{\left(45-6\right)! (6!)} \\ &= \frac{(45)(44)(43)(42)(41)(40)(39!)}{(39!)(6!)} \\ &= \frac{(45)(44)(43)(42)(41)(40)}{(6)(5)(4)(3)(2)} \\ &= \frac{(45)(44)(43)(42)(41)}{(6)(3)} \\ &= (15)(44)(43)(7)(41) \\ &= 8\,145\,060 \end{aligned}
B.3.2 Más de un subconjunto
Ejercicio B.6 ¿De cuántas formas distintas puedo armar un equipo de fútbol (11 jugadores) y dos de microfútbol (5 jugadores) con los 21 estudiantes de un curso?
Combinaciones (más de un subconjunto): El número total de resultados posibles de tomar n elementos distintos y dividirlos en m grupos, de tal forma que el grupo i-’esimo tiene r_i elementos (es decir, n = r_1 + r_2 + \dots + r_m), es:
\begin{aligned} \binom{n}{r_1, r_2, \dots, r_m} = \frac{n!}{(r_1!) (r_2!) \dots (r_m!)} \end{aligned}
Teniendo en cuenta lo anterior, ¿cuál sería la solución del Ejercicio B.6 (De cuantas formas distintas puedo armar un equipo de fútbol (11 jugadores) y dos de microfútbol (5 jugadores) con los 21 estudiantes de un curso)?
\begin{aligned} \binom{21}{11, 5, 5} &= \frac{21!}{(11!)(5!)(5!)} \\ &= \frac{(21)(20)(19)(18)(17)(16)(15)(14)(13)(12)}{(5)(4)(3)(2)(5)(4)(3)(2)} \\ &= (7)(19)(18)(17)(14)(13)(12) \\ &= 88\,884\,432 \end{aligned}