Apéndice E — Juzgamiento no paramétrico

En este apéndice se hará una corta y rápida revisión de algunos aspectos relacionados con el juzgamiento / prueba de hipótesis no paramétrico, es decir, aquel juzgamiento en donde se hacen los menores supuestos que se pueda acerca de la población.

E.1 Prueba de signos

Ejercicio E.1  

Los siguientes datos representan el tiempo, en minutos, que un paciente tiene que esperar durante 1212 visitas al consultorio de un médico antes de ser atendido:

1717 1515 2020 2020 3232 2828
1212 2626 2525 2525 3535 2424

Utilice la prueba de signo a un nivel de significancia de 0.050.05 para probar la afirmación del médico de que la mediana del tiempo de espera de sus pacientes no es mayor de 2020 minutos.

Walpole, Myers & Myers (2012). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. (9a. ed.) Pearson Educación. Ejercicio 16.1.

Para la hipótesis alternativa con respecto a la mediana: Ha:μ~<m0H_a: \tilde{\mu} < m_0 (con la respectiva hipótesis nula), el valor del estadístico de prueba se obtiene con:

w=Nuˊmero de valores en la muestra aleatoria que son mayores que m0w = \text{Número de valores en la muestra aleatoria que son mayores que } m_0 y la distribución muestral es WBinomial(n=n,p=0.5)W \sim Binomial(n=n^*, p=0.5), donde nn^* es el número de valores en la muestra que son diferentes de m0m_0. P[Ww]P[W \leq w] es el valor p (p-valor).

  • Para la hipótesis alternativa Ha:μ~>m0H_a: \tilde{\mu} > m_0, P[Ww]P[W \geq w] es el valor p (p-valor).
  • Para la hipótesis alternativa Ha:μ~m0H_a: \tilde{\mu} \neq m_0, si w<n/2w < n^*/2 entonces 2P[Ww]2 P[W \leq w] es el valor p (p-valor), si w>n/2w > n^*/2 entonces 2P[Ww]2 P[W \geq w] es el valor p (p-valor).
  • El método también funciona para la diferencia de medianas con observaciones pareadas Ha:μ~1μ~2<d0H_a: \tilde{\mu}_1 - \tilde{\mu}_2 < d_0 (>d0> d_0 o d0\neq d_0).

E.2 Prueba de rangos con signo de Wilcoxon

Ejercicio E.2  

Se afirma que una nueva dieta reducirá el peso de una persona en 4.54.5 kilogramos, en promedio, en un periodo de dos semanas. Se registran los pesos de 1010 mujeres que siguen esta dieta, antes y después de un periodo de dos semanas, y se obtienen los siguientes datos:

\, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Antes 58.558.5 60.360.3 61.761.7 6969 6464 62.662.6 56.756.7 63.663.6 68.268.2 59.459.4
Después 6060 54.954.9 58.158.1 62.162.1 58.558.5 59.959.9 54.454.4 60.260.2 62.362.3 58.758.7

Utilice la prueba de rango con signo a un nivel de significancia de 0.050.05 para probar la hipótesis de que la dieta reduce la mediana del peso en 4.54.5 kilogramos, en comparación con la hipótesis alternativa de que la mediana de la pérdida de peso es menor que 4.54.5 kilogramos.

Walpole, Myers & Myers (2012). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. (9a. ed.) Pearson Educación. Ejercicio 16.11 (Ejercicio 16.5).

Para la hipótesis alternativa con respecto a la mediana: Ha:μ~<m0H_a: \tilde{\mu} < m_0 (con la respectiva hipótesis nula), el valor del estadístico de prueba se obtiene así:

  1. Se ordena de menor a mayor, el valor absoluto de la diferencia de cada dato con respecto a la hipótesis nula, y se asignan las posiciones (rangos) conservando el signo de la diferencia (en caso de empates se asigna la “posición” central).

  2. Se suman las posiciones (rangos) con signo positivo obteniendo el estadístico de prueba w+w_+.

El valor crítico se puede encontrar en tablas, mediante software estadístico, o para nn suficientemente grande se puede utilizar W+n(n+1)4n(n+1)(2n+1)24N(0,1)\frac{W_+ - \frac{n(n+1)}{4}}{\sqrt{\frac{n(n+1)(2n+1)}{24}}} \sim \mathcal{N}(0,1). Se rechaza H0H_0 si w+w_+ es menor o igual que el valor crítico tabulado.

  • El método también funciona para la diferencia de medianas con observaciones pareadas.
  • El método fue desarrollado bajo la idea de que la distribución (población) es continua.
  • Si la distribución (población) es simétrica, por obvias razones, se puede hablar de media (o medias) en vez de mediana (o medianas).
  • Para Ha:μ~>m0H_a: \tilde{\mu} > m_0 se toma ww_{-}. Se rechaza H0H_0 si ww_- es menor o igual que el valor crítico tabulado.
  • Para Ha:μ~m0H_a: \tilde{\mu} \neq m_0 se toma w=min{w+,w}w=\min\{w_+,w_-\}. Se rechaza H0H_0 si ww es menor o igual que el valor crítico tabulado.

E.3 Prueba U de Mann-Withney (suma de rangos de Wilcoxon)

Ejercicio E.3  

Un fabricante de cigarrillos afirma que el contenido de alquitrán de la marca de cigarrillos B es menor que la de la marca A. Para probar esta afirmación se registraron las siguientes medidas del contenido de alquitrán, en miligramos:

Marca A 11 1212 99 1313 1111 1414
Marca B 88 1010 77

Utilice la prueba de suma de rangos con un nivel de significancia de 0.050.05 para probar si la afirmación es válida.

Walpole, Myers & Myers (2012). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. (9a. ed.) Pearson Educación. Ejercicio 16.15.

Para la diferencia de medianas con observaciones independientes: Ha:μ~1<μ~2H_a: \tilde{\mu}_1 < \tilde{\mu}_2, el valor del estadístico de prueba se obtiene así:

  1. Las observaciones de las dos poblaciones se unen en un solo grupo de datos, se ordenan ascendentemente (sin perder el registro de la población a la que pertenece cada dato), y se asigna la posición (es decir el rango. De nuevo, en caso de empate se asigna la “posición” central).

  2. Se suman los rangos correspondientes a la primera población obteniendo w1w_1.

  3. El estadístico de prueba es u1=w1n1(n1+1)2u_1 = w_1 - \frac{n_1(n_1 + 1)}{2}

El valor crítico asociado a la distribución muestral se puede encontrar en tablas, mediante software estadístico, o para nn suficientemente grande se puede utilizar U1(n1)(n2)2(n1)(n2)(n1+n2+1)12N(0,1)\frac{U_1 - \frac{(n_1)(n_2)}{2}}{\sqrt{\frac{(n_1)(n_2)(n_1+n_2+1)}{12}}} \sim \mathcal{N}(0,1). Se rechaza H0H_0 si u1u_1 es menor o igual que el valor crítico tabulado.

  • El método fue desarrollado bajo la idea de que la distribución (población) es continua.
  • Si la distribución (población) es simétrica, por obvias razones, se puede hablar de medias en vez de medianas.
  • Investigar qué cambia para cuando Ha:μ~1>μ~2H_a: \tilde{\mu}_1 > \tilde{\mu}_2 y para cuando Ha:μ~1μ~2H_a: \tilde{\mu}_1 \neq \tilde{\mu}_2.