Apéndice C — Resumen: Cálculo integral
En este apéndice se hace un resumen de algunos aspectos básicos relacionados con la integración de funciones.
El siguiente video hace una excelente introducción a este tema:
C.1 Antiderivación
Definición C.1 (Antiderivada) Una función F se denomina antiderivada de la función f en un intervalo I, si F'(t) = f(t) para todo valor de t en I.
Teorema C.1 Si f y g son dos funciones definidas en el intervalo I, tales que, f'(t) = g'(t), para toda t en I, entonces existe una constante C tal que, f(t) = g(t) + C, para toda t en I.
Teorema C.2 Si F es una antiderivada particular de f en un intervalo I, entonces cada antiderivada de f en I está dada por, F(t) + C, donde C es una constante arbitraria, y todas las antiderivadas de f en I pueden obtenerse a partir de la anterior ecuación variando los valores de C.
La antiderivación o antidiferenciación es el proceso mediante el cual se determina el conjunto de todas las antiderivadas de una función dada. \int f(t) \, dt = F(t) + C, donde F'(t) = f(t) y la expresión F(t) + C recibe el nombre de antiderivada general de f.
Si denotamos la diferencial de una función así D\big(F(t)\big) = f(t) \, dt entonces se puede escribir, \int \Big[ D\big(F(t)\big) \Big] = F(t) + C, en donde se observa que \int[\cdot] representa la operación inversa a la operación denotada por D(\cdot).
Propiedades:
- \int dt = t + C
- Para una constante a, \int a \, f(t) \, dt = a \int f(t) \, dt
- Si f y g están definidas en el mismo intervalo, entonces \int \big[ f(t) + g(t) \big] \, dt = \int f(t) \, dt + \int g(t) \, dt
- Si n es un número racional, entonces \int t^n \, dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C para n \neq 1.
- Además, \begin{aligned} \int \sin(t) \, dt &= - \cos(t) + C \\ \int \cos(t) \, dt &= \sin(t) + C, \\ \int e^t \, dt &= e^t + C, \\ \int \frac{1}{t} \, dt &= \ln |t| + C, \\ &\dots \end{aligned}
C.2 Integral definida
Definición C.2 (Función integrable (de Riemann)) Sea f una función cuyo dominio contiene al intervalo cerrado [a,b]. Se dice que f es integrable en [a,b] si existe un número L que satisface que: para cualquier \epsilon > 0, existe un \delta > 0 tal que para toda partición \Delta para la cual \| \Delta \| < \delta, y para cualquier w_i del intervalo cerrado [t_{i-1}, t_i], i = 1,2,\dots,n entonces, \left| \sum_{i=1}^{n} f(w_i) \, \Delta_i t - L \right| < \epsilon
Si f es una función definida en el intervalo cerrado [a,b], entonces la integral definida de f de a a b, está dada por, \int_{a}^{b} f(t) \, dt = \lim_{\|\Delta\| \to 0} \left( \sum_{i=1}^{n} f(w_i) \, \Delta_i t \right) si el límite existe.
Este es un enlace a una animación que ilustra la integral de Riemann con una partición regular
Este es un enlace a una animación que ilustra la integral de Riemann con una partición irregular
Propiedades:
- Si f es integrable en [a,b], entonces \int_{b}^{a} f(t) \, dt = - \int_{a}^{b} f(t) \, dt
- Si f(a) existe, entonces \int_{a}^{a} f(t) \, dt = 0
- Si f es integrable en un intervalo cerrado que contiene los tres números a, b y c, entonces \int_{a}^{b} f(t) \, dt = \int_{a}^{c} f(t) \, dt + \int_{c}^{b} f(t) \, dt
- Si las funciones f y g son integrables en [a,b] y si g(t) \leq f(t) para toda t en [a,b], entonces \int_{a}^{b} g(t) \, dt \leq \int_{a}^{b} f(t) \, dt
- Si la función f es continua en [a,b], entonces existe c en [a,b] tal que \int_{a}^{b} f(t) \, dt = f(c) \, (b-a)
C.3 Teoremas fundamentales del cálculo
Teorema C.3 (Primer teorema fundamental del cálculo) Sea f una función continua en el intervalo [a,b] y sea a \leq x \leq b. Si F(x) := \int_{a}^{x} f(t) \, dt, entonces, F'(x) = \frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) \, dt = f(x) Es decir, una integral definida entre a y x es lo mismo o coincide con una antiderivada (coincide con el proceso inverso de derivar).
Teorema C.4 (Segundo teorema fundamental del cálculo) Sea f una función continua en el intervalo [a,b] y sea F una función tal que F'(x) = f(x) para todo x en [a,b], entonces, \int_{a}^{b} f(t) \, dt = \Big[ F(x) \Big]_{a}^{b} = F(b) - F(a) Es decir que para calcular una integrar definida de f(x) solamente necesito conocer su antiderivada para evaluarla en los extremos del intervalo de integración.
C.4 Dos técnicas o métodos de integración
C.4.1 Integración por sustitución
\int_{a}^{b} f \big( g(t) \big) g'(t) \, dt = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) \, du
Ejemplo C.1 Supongamos que queremos conocer el valor que toma la siguiente integral definida.
\begin{aligned} \int_{0}^{\pi/2} \sin^3(t) \cos(t) \, dt \\ \end{aligned}
Tomando u = \sin(t), entonces du = \cos(t) \, dt y sustituyendo tenemos que,
\begin{aligned} \int_{0}^{\pi/2} \sin^3(t) \cos(t) \, dt &= \int_{\sin(0)}^{\sin(\pi/2)} u^3 \, du \\ &= \int_{0}^{1} u^3 \, du \\ &= \left[ \frac{u^4}{4} \right]_{0}^{1} \\ &= \frac{(1)^4}{4} - \frac{(0)^4}{4} \\ &= \frac{1}{4} \end{aligned}
C.4.2 Integración por partes
\begin{aligned} \int_a^b f(t) g'(t) \, dt &= \big[ f(t) \, g(t) \big]_a^b - \int_a^b g(t) f'(t) \, dt \\ \end{aligned}
Es decir, si u = f(t) y dv = g'(t) \, dt, entonces, \begin{aligned} \int_a^b u \, dv &= [ u \, v ]_a^b - \int_a^b v \, du \end{aligned}
Ejemplo C.2 Supongamos que queremos saber el resultado de la siguiente integral definida para cualquier valor de a y b.
\begin{aligned} \int_a^b t \ln(t) \, dt \end{aligned}
Tomando u = \ln(t) y dv = t \, dt, se tiene que,
\begin{aligned} \int_a^b u \, dv &= \left[ u \, v \right]_a^b - \int_a^b v \, du \\ \int_a^b t \ln(t) \, dt &= \left[ \ln(t) \frac{t^2}{2} \right]_a^b - \int_a^b \frac{t^2}{2} \frac{1}{t} \, dt \\ &= \left[ \frac{1}{2} t^2 \ln(t) \right]_a^b - \frac{1}{2} \int_a^b t \ dt \\ &= \left[ \frac{1}{2} t^2 \ln(t) - \frac{1}{4} t^2 \right]_a^b \\ &= \left[ \frac{1}{4} t^2 \Big( 2 \ln(t) - 1 \Big) \right]_a^b \end{aligned}
C.5 Herramienta en línea
Ir a Integral Calculator (Calculate integrals online — with steps and graphing!)