Apéndice C — Resumen: Cálculo integral – Probabilidad y Estadística Fundamental

C.1 Antiderivación

Definición C.1 (Antiderivada) Una función $F$ se denomina antiderivada de la función $f$ en un intervalo $I$ , si $F'(t) = f(t)$ para todo valor de $t$ en $I$ .

Teorema C.1 Si $f$ y $g$ son dos funciones definidas en el intervalo $I$ , tales que, $f'(t) = g'(t),$ para toda $t$ en $I$ , entonces existe una constante $C$ tal que, $f(t) = g(t) + C,$ para toda $t$ en $I$ .

Teorema C.2 Si $F$ es una antiderivada particular de $f$ en un intervalo $I$ , entonces cada antiderivada de $f$ en $I$ está dada por, $F(t) + C,$ donde $C$ es una constante arbitraria, y todas las antiderivadas de $f$ en $I$ pueden obtenerse a partir de la anterior ecuación variando los valores de $C$ .

La antiderivación o antidiferenciación es el proceso mediante el cual se determina el conjunto de todas las antiderivadas de una función dada. $\int f(t) \, dt = F(t) + C,$ donde $F'(t) = f(t)$ y la expresión $F(t) + C$ recibe el nombre de antiderivada general de $f$ .

Si denotamos la diferencial de una función así $D\big(F(t)\big) = f(t) \, dt$ entonces se puede escribir, $\int \Big[ D\big(F(t)\big) \Big] = F(t) + C,$ en donde se observa que $\int[\cdot]$ representa la operación inversa a la operación denotada por $D(\cdot)$ .

Propiedades:

$\int dt = t + C$
Para una constante $a$ , $\int a \, f(t) \, dt = a \int f(t) \, dt$
Si $f$ y $g$ están definidas en el mismo intervalo, entonces $\int \big[ f(t) + g(t) \big] \, dt = \int f(t) \, dt + \int g(t) \, dt$
Si $n$ es un número racional, entonces $\int t^n \, dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C$ para $n \neq 1$ .
Además, $\begin{aligned} \int \sin(t) \, dt &= - \cos(t) + C \\ \int \cos(t) \, dt &= \sin(t) + C, \\ \int e^t \, dt &= e^t + C, \\ \int \frac{1}{t} \, dt &= \ln |t| + C, \\ &\dots \end{aligned}$

C.2 Integral definida

Definición C.2 (Función integrable (de Riemann)) Sea $f$ una función cuyo dominio contiene al intervalo cerrado $[a,b]$ . Se dice que $f$ es integrable en $[a,b]$ si existe un número $L$ que satisface que: para cualquier $\epsilon > 0$ , existe un $\delta > 0$ tal que para toda partición $\Delta$ para la cual $\| \Delta \| < \delta$ , y para cualquier $w_i$ del intervalo cerrado $[t_{i-1}, t_i]$ , $i = 1,2,\dots,n$ entonces, $\left| \sum_{i=1}^{n} f(w_i) \, \Delta_i t - L \right| < \epsilon$

Si $f$ es una función definida en el intervalo cerrado $[a,b]$ , entonces la integral definida de $f$ de $a$ a $b$ , está dada por, $\int_{a}^{b} f(t) \, dt = \lim_{\|\Delta\| \to 0} \left( \sum_{i=1}^{n} f(w_i) \, \Delta_i t \right)$ si el límite existe.

Imagen que ilustra la idea de integral definida

Este es un enlace a una animación que ilustra la integral de Riemann con una partición regular

Este es un enlace a una animación que ilustra la integral de Riemann con una partición irregular

Propiedades:

Si $f$ es integrable en $[a,b]$ , entonces $\int_{b}^{a} f(t) \, dt = - \int_{a}^{b} f(t) \, dt$
Si $f(a)$ existe, entonces $\int_{a}^{a} f(t) \, dt = 0$
Si $f$ es integrable en un intervalo cerrado que contiene los tres números $a$ , $b$ y $c$ , entonces $\int_{a}^{b} f(t) \, dt = \int_{a}^{c} f(t) \, dt + \int_{c}^{b} f(t) \, dt$
Si las funciones $f$ y $g$ son integrables en $[a,b]$ y si $g(t) \leq f(t)$ para toda $t$ en $[a,b]$ , entonces $\int_{a}^{b} g(t) \, dt \leq \int_{a}^{b} f(t) \, dt$
Si la función $f$ es continua en $[a,b]$ , entonces existe $c$ en $[a,b]$ tal que $\int_{a}^{b} f(t) \, dt = f(c) \, (b-a)$

C.3 Teoremas fundamentales del cálculo

Teorema C.3 (Primer teorema fundamental del cálculo) Sea $f$ una función continua en el intervalo $[a,b]$ y sea $a \leq x \leq b$ . Si $F(x) := \int_{a}^{x} f(t) \, dt$ , entonces, $F'(x) = \frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) \, dt = f(x)$ Es decir, una integral definida entre $a$ y $x$ es lo mismo o coincide con una antiderivada (coincide con el proceso inverso de derivar).

Teorema C.4 (Segundo teorema fundamental del cálculo) Sea $f$ una función continua en el intervalo $[a,b]$ y sea $F$ una función tal que $F'(x) = f(x)$ para todo $x$ en $[a,b]$ , entonces, $\int_{a}^{b} f(t) \, dt = \Big[ F(x) \Big]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$ Es decir que para calcular una integrar definida de $f(x)$ solamente necesito conocer su antiderivada para evaluarla en los extremos del intervalo de integración.

C.4 Dos técnicas o métodos de integración

C.4.1 Integración por sustitución

$\int_{a}^{b} f \big( g(t) \big) g'(t) \, dt = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) \, du$

Ejemplo C.1 Supongamos que queremos conocer el valor que toma la siguiente integral definida.

$\begin{aligned} \int_{0}^{\pi/2} \sin^3(t) \cos(t) \, dt \\ \end{aligned}$

Tomando $u = \sin(t)$ , entonces $du = \cos(t) \, dt$ y sustituyendo tenemos que,

$\begin{aligned} \int_{0}^{\pi/2} \sin^3(t) \cos(t) \, dt &= \int_{\sin(0)}^{\sin(\pi/2)} u^3 \, du \\ &= \int_{0}^{1} u^3 \, du \\ &= \left[ \frac{u^4}{4} \right]_{0}^{1} \\ &= \frac{(1)^4}{4} - \frac{(0)^4}{4} \\ &= \frac{1}{4} \end{aligned}$

C.4.2 Integración por partes

$\begin{aligned} \int_a^b f(t) g'(t) \, dt &= \big[ f(t) \, g(t) \big]_a^b - \int_a^b g(t) f'(t) \, dt \\ \end{aligned}$

Es decir, si $u = f(t)$ y $dv = g'(t) \, dt$ , entonces, $\begin{aligned} \int_a^b u \, dv &= [ u \, v ]_a^b - \int_a^b v \, du \end{aligned}$

Ejemplo C.2 Supongamos que queremos saber el resultado de la siguiente integral definida para cualquier valor de $a$ y $b$ .

$\begin{aligned} \int_a^b t \ln(t) \, dt \end{aligned}$

Tomando $u = \ln(t)$ y $dv = t \, dt$ , se tiene que,

$\begin{aligned} \int_a^b u \, dv &= \left[ u \, v \right]_a^b - \int_a^b v \, du \\ \int_a^b t \ln(t) \, dt &= \left[ \ln(t) \frac{t^2}{2} \right]_a^b - \int_a^b \frac{t^2}{2} \frac{1}{t} \, dt \\ &= \left[ \frac{1}{2} t^2 \ln(t) \right]_a^b - \frac{1}{2} \int_a^b t \ dt \\ &= \left[ \frac{1}{2} t^2 \ln(t) - \frac{1}{4} t^2 \right]_a^b \\ &= \left[ \frac{1}{4} t^2 \Big( 2 \ln(t) - 1 \Big) \right]_a^b \end{aligned}$

C.5 Herramienta en línea

Ir a Integral Calculator (Calculate integrals online — with steps and graphing!)