Apéndice A — Repaso: Conjuntos

En este apéndice se hace un repaso de algunos aspectos básicos relacionados con el manejo de conjuntos.

A.1 Notación

  • Definición de un conjunto por comprensión: A = \{a : a \in \mathbb{N} \text{ y } 1 \leq a \leq 6 \}

  • Definición de un conjunto por extensión: A = \{1,2,3,4,5,6\}

  • Conjunto vacío: Conjunto que no tiene ningún elemento. (\emptyset)

A.2 Relaciones

  • Contenencia (B \subset A): Cada elemento de B es a su vez un elemento de A.

  • Igualdad (B = A): Ambos conjuntos contienen los mismos elementos.

A.3 Operaciones

  • Intersección: Cada elemento de la intersección (A \cap B), es un elemento de A Y (también) es un elemento de B.

  • Unión: Cada elemento de la unión (A \cup B), es un elemento de A O es un elemento de B (o de ambos).

  • Complemento: Es el conjunto de todos los elementos que NO pertenecen a A (con respecto al conjunto universal). (A^C)

  • Diferencia: Es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A y que no pertenecen a B. (A \backslash B = A \cap B^C)

  • Diferencia simétrica: Es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o que pertenecen a B, pero que no pertenecen a ambos a la vez. (A \triangle B = (A \cup B) \backslash (A \cap B) = (A \cup B) \cap (A \cap B)^C)

A.4 Algunas propiedades

  • Conmutativa: A \cup B = B \cup A y A \cap B = B \cap A.

  • Asociativa: A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C y A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C.

  • Distributiva: A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) y A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C).

  • Leyes de Morgan: (A \cup B)^C = A^C \cap B^C y (A \cap B)^C = A^C \cup B^C.

  • Con el conjunto vacío: \emptyset^C = \Omega, A \cup \emptyset = A y A \cap \emptyset = \emptyset.

  • Con el conjunto universal: \Omega^C = \emptyset, A \cup \Omega = \Omega y A \cap \Omega = A.

  • Con el complemento: A \cup A^C = \Omega, A \cap A^C = \emptyset y (A^C)^C = A.

Ejemplo A.1

Ir a Venn Diagram App